De culture bengalie, Burman est issu d'une illustre famille noble du Nord du pays. D'abord chanteur lui-même, il interprète dans sa langue maternelle des chansons dans le style folklorique « thumrî », tendre et léger. Installé à Mumbai durant les années 40, il devient un compositeur de premier plan, collaborant régulièrement avec des artistes comme Dev Anand. Parfois influencés par le jazz, ses thèmes des années 50 et 60 constituent ses classiques les plus aboutis. De Mohammed Rafi à Asha Bhosle, les interprètes les plus admirés de l'Inde ont tous chanté ses compositions historiques.